$100$ के वे दो भाग कौन से हैं जिनके लिए पहले भाग का दोगुना और दूसरे भाग के वर्ग का योग न्यूनतम है?

$100 \, cm$ परिमाप वाले एक आयत की आसन्न भुजाएँ क्या होंगी यदि उसका क्षेत्रफल अधिकतम हो?

यदि $p$ और $q$ अंतराल $[-2, 2]$ पर फलन $f(x) = x^2 e^{2x}$ के क्रमशः वैश्विक अधिकतम और वैश्विक न्यूनतम मान हैं,तो $p e^{-4} + q e^4 =$

यदि फलन $f(x)=x^3-3(a-2)x^2+3ax+7$,किसी $a \in R$ के लिए,$(0,1]$ में वर्धमान और $[1,5)$ में ह्रासमान है,तो समीकरण $\frac{f(x)-14}{(x-1)^2}=0$ $(x \neq 1)$ का एक मूल क्या है?

यदि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ है,तो $(0,0)$,$(x, \cos x)$ और $(\sin^3 x, 0)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

यदि वास्तविक रेखा $R$ पर परिभाषित एक सतत फलन $f$,$R$ में धनात्मक और ऋणात्मक मान ग्रहण करता है,तो समीकरण $f(x)=0$ का $R$ में एक मूल होता है। उदाहरण के लिए,यदि यह ज्ञात हो कि $R$ पर एक सतत फलन $f$ किसी बिंदु पर धनात्मक है और इसका न्यूनतम मान ऋणात्मक है,तो समीकरण $f(x)=0$ का $R$ में एक मूल होता है।
सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x)=k e^x-x$ पर विचार करें,जहाँ $k$ एक वास्तविक स्थिरांक है।
$1.$ रेखा $y=x$,$k \leq 0$ के लिए $y=k e^x$ से कहाँ मिलती है?
$(A)$ किसी बिंदु पर नहीं $(B)$ एक बिंदु पर $(C)$ दो बिंदुओं पर $(D)$ दो से अधिक बिंदुओं पर
$2.$ $k$ का धनात्मक मान जिसके लिए $k e^x-x=0$ का केवल एक मूल है,वह है
$(A)$ $1/e$ $(B)$ $1$ $(C)$ $e$ $(D)$ $\log_e 2$
$3.$ $k>0$ के लिए,$k$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिनके लिए $k e^x-x=0$ के दो भिन्न मूल हैं,वह है
$(A)$ $(0, 1/e)$ $(B)$ $(1/e, 1)$ $(C)$ $(1/e, \infty)$ $(D)$ $(0, 1)$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।